缓和曲线、圆曲线、竖曲线的原理可以通过看书了解。我用几张图简单介绍一下。然后列出几个问题，给出解决过程。这些问题可以作为很好的参考。

大概知识点:

示例和详细的解决方案流程:

1.已知一条线，起点坐标为QD (2819.272，3816.598)；交底坐标JD (3308.546，4688.728)，里程DK12+212.500，曲线半径1000，前后缓和曲线长度120m；终点是ZD(2804.277，5813.457)。

(1)计算直线和慢速点、慢速点、曲线中点、圆形和慢速点里程和坐标；

(2)里程DK12+606.500处有一座斜涵，斜角60°，宽8m，长30m。如上图所示，计算涵洞四个角A、B、C、D的坐标。

解法:(1)计算直慢点、慢点、弯中点、圆慢点的里程和坐标；

中介值:p = ls/24r = 120/24/1000 = 0.6m。

切线增量:q = ls/2-ls/240 r = 120/2-120/240/1000 = 59.993m。

α1 =反正切(△Y/△X)=反正切(872.130/489.274)= 60° 42′25.6 “

α2 =反正切(△Y/△X)=反正切(1124.729/-504.269)+180 = 114 8’56.2”

α=α2-α1=53 26′30.6″ α/2=26 43′15.3″

切线长度:T=(R+p)tanα/2+q=563.7

外部距离:E=(R+p)secα/2-R=120.233

缓和曲线角度:β=ls/2R=120/2/1000=0.06转换:3° 26′15.9 “

圆角度:αy =α-2β= 46° 33′58.8 “

圆长:ly = r *αy/180 *π= 1000 * 46 33’58.8 ”/ 180 *π= 812.736m

ZH积分里程:JD里程-T=K12+212.5-563.7=K11+648.8

HY里程:ZH里程+ls= K11+648.8+120=K11+768.8

QZ里程= HY+LY/2里程= K11+768.8+812.736/2 = K12+175.168

YH点里程= QZ点里程+LY/2 = K12+175.168+812.736/2 = DK12+581.536

HZ里程= YH里程+LS = DK12+581.536+120 = DK12+701.536

ZH点坐标:

△X = cosα1 * T = cos 60 42′25.6″* 563.7 = 275.804

△Y = sinα1 * T = sin 60 42′25.6″* 563.7 = 491.619

XZH = XJD-△X = 3308.546-275.804 = 3032.742

YZH = YJD-△Y = 4688.728-491.619 = 4197.109

赫兹点坐标:

△X = cosα2 * T = cos 114 8′56.2″* 563.7 =-230.615

△Y = sinα2 * T = sin 114 8’56.2 ”* 563.7 = 514.368

XHZ = XJD+△X = 3308.546+(-230.615)= 3077.931

YHZ = YJD+△Y = 4688.728+514.368 = 5203.096

QZ点坐标:

外方位角:αw =α2+(180-α)/2 = 177° 25′40.9 “

△X = cosαw * E = cos 177 25′40.9″* 120.233 =-120.112

△Y = sinαw * E = sin 177 25′40.9″* 120.233 = 5.395

XQZ = XJD+△X = 3308.546+(-120.112)= 3188.434

YQZ = YJD+△Y = 4688.728+5.395 = 4694.123

HY点坐标:

x = xqz+r * cosαw = 3188.434+1000 * cos 177 25’40.9 ”= 2189.441

y = yqz+r * sinαw = 4694.123+1000 * sin 177 25’40.9 ”= 4738.997

圆心-QZ =αW+180 = 357° 25′40.9 “

α-HY =α-QZ-αY/2 = 357 25′40.9″-46 33′58.8″/2 = 334 8′41.5″。

XHY= X中心+R*cosα中心-hy = 2189.441+1000 * cos 334 8’41.5 ”= 3089.341

YHY= Y中心+R*sinα中心-hy = 4738.997+1000 * sin 334 8’41.5”= 4302.900

YH点坐标:

α-YH =α-QZ+αY/2 = 357° 25′40.9″+46° 33′58.8″/2-360 = 20° 42′40.3″。

XYH= X中心+R*cosα中心-yh = 2189.441+1000 * cos 20 42’40.3”

=3124.816

YYH= Y中心+R*sinα中心-YH = 4738.997+1000 * SIN 20 42’40.3”

=5092.655

(2)里程DK12+606.500处有一座斜涵，斜角60°，宽8m，长30m。如上图所示，计算涵洞四个角A、B、C、D的坐标。

依据里程DK12+606.500，在第二缓和曲线上可以找到此涵洞。

HZ坐标:XHZ= 3077.931，YHZ= 5203.096

赫兹里程:DK12+701.536α2 = 114 8’56.2”

LH = DK12+701.536-DK12+606.500 = 95.036

x1 = LH–lh5/40R ls = 95.036-0.013 = 95.023

y1 = LH/6R ls = 95.036/(6 * 1000 * 120)= 1.192

xh = XHZ–X1 * cos 114 8′56.2 ″- Yh * sin 114 8′56.2 ″= 3077.931-95.023 * cos 114 8′56.2 ″- 1.192 * sin 114 8′56.2 ″= 3077.931+38.875-1.088 = 3115.718

Yh = YHZ-Xh * sin 114 8′56.2 ″+ Yh * cos 114 8′56.2 ″= 5203.096-86.707+(-0.488)= 5115.901

αh =α2-βh = 114° 8′56.2″-2° 9′22.3″= 111° 59′33.9″。

αh-(A-B)=αh-120+360 = 351 59′33.9 “

x A-B = Xh+15 * cos 351 59’33.9 ”= 3115.718+14.854 = 3130.572

y A-B = Yh+15 * sin 351 59’33.9 ”= 5115.901-2.089 = 5113.812

αA =αh-(A-B)-90 = 351 59′33.9″-90 = 261 59′33.9″。

XA = X A-B+4 * cosαA = 3130.572+4 * cos 261 59’33.9 ”= 3130.015

YA = Y A-B+4 * sinαA = 5113.812+4 * sin 261 59’33.9 ”= 5109.851

XB = X A-B+4 *科斯αA = 3130.572+4 *科斯81 59′33.9″= 3131.129

YB = Y A-B+4 * sinαA = 5113.812+4 * sin 81 59′33.9″= 5117.773

x C-D = Xh+15 * cos 171 59’33.9 ”= 3115.718-14.854 = 3100.864

y C-D = Yh+15 * sin 171 59’33.9 ”= 5115.901+2.089 = 5117.990

XC = X C-D+4 * cosαA = 3100.864+4 * cos 261 59′33.9″= 3100.307

YC = Y C-D+4 * sinαA = 5117.990+4 * sin 261 59′33.9″= 5114.029

XD = X C-D+4 * cosαA = 3100.864+4 * cos 81 59’33.9 ”= 3101.421

YD = Y C-D+4 * sinαA = 5117.990+4 * sin 81 59′33.9″= 5121.951

2.已知某高速公路左右分离式隧道基底宽度Mn = 10m，如下图所示:ZH点里程为DK5+540，坐标为(X=3519274.833，y = 500171.301)。ZH点与JD的坐标方位角为99° 32′00.3″，隧道洞口里程为DK5+。

依据给定的建筑物与线路的位置关系，完成以下要求(计算结果精确到1mm):

1.计算DK5+620线中线点O处的曲线半径R和点O中线的切线方位角；

2.计算东门DK5+620线中线点O的坐标；

3.计算隧道洞口基底M点和N点的坐标；

回答:

1.计算DK5+620线中线点O处的曲线半径R和点O中线的切线方位角；

答:Lo = DK5+620-DK5+540 = 80

A =l*R R=A /lo=40000/80=500

β = lo/2RLO = 0.08，即4° 35’1.2”

αo =α1+β= 99° 32′0.3″+4° 35′1.2″= 104° 7′1.5″。

2.计算东门DK5+620线中线点O的坐标；

答:x1 = lo–lo5/40 rlo = 80-0.051 = 79.949

y1 = lo/6R lo = 80/(6 * 1000 * 80)= 2.133

D=√(X1 + Y1 )=79.977

弦角:反正切y1/x1 = 1° 31′41.7 “

弦方位角α= 99° 32′0.3″+1° 31′41.7″= 101° 03′42″。

XO = XZH+D * cosα= 3519274.833+(-15.345)= 3519259.488

yo = YZH+D * sinα= 500171.301+78.491 = 500249.792

3.计算隧道洞口基底M点和N点的坐标；

答案:αm =αo-90 = 104° 7′1.5″-90 = 14° 7′1.5″。

αN =αo+90 = 104° 7′1.5″+90 = 194° 7′1.5″。

XM = Xo+D * cosαM = 3519259.488+4 * cos 14 7’1.5 ”= 3519263.367

YM = Yo+D * sinαM = 500249.792+4 * sin 14 7’1.5 ”= 500250.768

XN = Xo+D * cosαM = 3519259.488+6 * cos 194 7’1.5 ”= 3519253.670

YN = Yo+D * sinαM = 500249.792+6 * sin 194 7’1.5 ”= 500248.328

3.有一条已知道路，起点里程DK0+380，标高28.619m；DK0+430标高27.347m，竖曲线半径600；终点为DK0+460，标高为29.666米。分别计算DK0+389.21、DK0+417.77、DK0+439.04和DK0+468.08的标高。

回答:

L1 =(27.347-28.619)/(430-380)=-0.02544

I2 =(29.666-27.347)/(460-430)= 0.0773

ω= I2-I1 = 0.0773-(-0.02544)= 0.10274是一条凹曲线。

曲线的长度L=R*ω=600*0.10274=61.644

正切T=L/2=61.644/2=30.822

垂直起点里程:=(K0+430)-30.822= K0+399.178

曲线终点里程:=(K0+430)+30.822= K0+460.822

竖曲线起点高程:=27.347+30.822*0.02544=28.131

垂直终点标高:=27.347+30.822*0.0773=29.730

1.DK0+389.21确定该点位于i1直线上。

h = 27.347+(430-389.21)* i1 = 28.385

2.DK0+417.77确定点位于前半竖曲线上。

L=417.77-399.178=18.592

垂直距离h = l/2r = 18.592/2/600 = 0.288

切点高程h1 = 28.131-18.592 * i1 = 28.131-0.473 = 27.658

实际标高H=H1+h=27.658+0.288=27.946

3.DK0+439.04确定点位于后半竖曲线上。

L=460.822-439.04=21.782

垂直距离h = l/2r = 21.782/2/600 = 0.395

切点高程H1 = 29.730-21.782 * I2 = 29.730-1.684 = 28.046

实际标高H=H1+h=28.046+0.395=28.441

4.DK0+468.08确定该点位于i2直线上。

h = 29.730+(468.08-460.822)* I2 = 30.291

4.起点里程为DK0+050，标高为8.000 m的已知道路；DK5+260高程35.000m，竖曲线半径25万；终点为DK8+405，标高为8.000米。分别计算DK3+100.956、DK5+000.125、DK5+650.500和DK7+627.515的标高。

答案:i1=(35-8)/(5260-50)=0.00518

I2 =(8-35)/(8405-5260)=-0.008585

ω= I2-I1 =-0.008585-0.00518 =-0.01376是一条凸曲线。

曲线长度L=R*ω=250000*0.01376=3441.264

正切T=L/2=3441.264/2=1720.632

垂直起点里程:=(K5+260)-1720.632= K3+539.368

竖曲线终点里程:=(K5+260)+1720.632= K6+980.632

曲线垂直起点高程:=35-1720.632*0.00518=26.087

垂直终点标高:=35-1720.632*0.008585=20.228

1.DK3+100.956确定该点位于i1直线上。

h = 26.087-(K3+539.368-K3+100.956)* i1 = 23.816

2.DK5+000.125确定点位于前半竖曲线上。

L=5000.125-3539.368=1460.757

h=L /2R=1460.757 /2/250000=4.267

切点高程H1= 33.654

实际海拔高度H=H1-h=29.387

3.DK5+650.500确定该点位于后半竖曲线上。

L=6980.632-5650.5=1330.132

垂直距离h = l/2r = 1330.132/2/250000 = 3.538

切点高程H1=31.647

实际标高H=H1-h=31.647-3.539=28.109

4.DK7+627.515确定该点位于i2直线上。

h = 20.228-(7627.515-6980.632)* I2 = 14.675

5.有一段高速铁路，平曲线单交点，起始里程K00+000.000，坐标(803121.767，1207813.609)，交点坐标(804908.483，1214608.078)，半径12000m，前后缓和曲线长度230m。如图1所示:该段线路只有一条竖曲线，其中起点处轨面标高为325.526m，里程K11+085.00处轨面标高为266.000m，半径为6000，终点标高为302.650m，如图2所示。里程K11+125.345处有一个桥墩，其立面结构如图3所示；桥墩横向预偏心距为30cm，共有6根钻孔桩，几何尺寸如图4所示。

(1)计算K11+125.345处轨面标高、垫石标高和承台顶面标高；

(2)计算六根钻孔灌注桩的坐标和桩顶标高。

第五个问题可以自己解决。