不知不觉中，我们已经迎来了一年一度的“π日”(也是白色的一天)。2011年，国际数学协会正式宣布将每年的3月14日定为国际数学节。小学数学课本告诉我们，π的小数部分是无限无环小数，不能简单地用分数完全表示。所以在π日到来之际，我们来复习一下小学的数学知识，揭开π的神秘面纱。

在一个不存在的网站上涂鸦庆祝π日，2018年3月14日。值得一提的是，图为著名厨师多米尼克·安塞尔(Dominique Ansel)为π Day特别设计的苹果派。向下滑动以浏览详细的食谱。

资料来源:piday.org。

(附注:边肖当年亲自测试了这个配方。如果有朋友想在家里试试，边肖只能说…其实不加苹果的苹果派还是挺好吃的。)

1 π前世

π就是人们常说的圆周率，圆周率是一个数学常数，定义为圆的周长与直径之比。早在远古时代，人类就发现了一个圆的周长和直径之间存在着不可告人的秘密。出土文物表明，早在巴比伦时期，当时的几何学家就已经计算出圆周率的值为25/8。

最早有记载的严谨算法可以追溯到公元前250年。古希腊数学家阿基米德用正多边形算法得出π的上下界，分别为223/71和22/7，即3.140845

沉思中的阿基米德

艺术家

年龄

类型

集合地点

多梅尼科·费蒂

大约1620年

帆布油画

德累斯顿艺术博物馆

阿基米德求圆周率的思路是先构造一个圆内接的多边形和一个对应的外切多边形。当边数足够大时，两个多边形的周长接近圆周的上下界。

思考问题:如何证明22/7 & gt；π?

提示:

点击空偷看答案。

之后数学家们相继用割线、无穷级数等方法计算π的值。1706年，英国天文学家约翰·麦金利用格雷戈里-莱布尼茨级数生成的公式计算出π的第100位小数。也是在这一年，威廉·琼斯在《新数学导论》中首次使用π作为圆周率的专属符号，但也正是多亏了莱昂哈德·欧拉，世界各地的数学家才真正接受了这个设定。1736年，欧拉在《力学》一书中开始使用“π”这个符号，数学家们纷纷效仿。

莱昂哈德·欧拉(1707-1783)

艺术家

年龄

类型

集合地点

雅各布·伊曼纽尔·汉德曼

大约1756年

演员化妆用油

慕尼黑德国博物馆

现代数学的先驱莱昂哈德·欧拉是有史以来最伟大的数学家之一。法国数学家拉普拉斯曾这个评价欧拉的贡献:“读读欧拉，他是每个人的老师。”

特别是π的值为3.1415926535897，它不仅是一个无理数(即π是一个无限无环小数)，而且是一个超越数(所谓“超越数”是指不满足任何整系数多项式方程的实数的个数)。

“超越数”这个词来源欧拉在1748年的评论:“它们超出了代数方法的范围。”但是直到1844年，法国数学家约瑟夫·刘维尔才证明了它的存在。

没错，边肖引入超越数就是为了发这个表情…所以看到的同学没有转发评论和赞？

2割圆术:优雅地计算π。

说到π的计算，就不得不提到著名的“割圆术”。大约在公元265年，数学家刘徽创立了割圆法，用一个正3072多边形计算π的值为3.1416。后来在公元480年，祖冲之用割线术计算了正12288边多边形的边长，得到圆周率约等于355/113(即密度)。在接下来的800年里，这是对π最精确的估计。

图片来源:维基百科

祖冲之(429 ~ 500)，又名，刘宋之际的数学家。祖冲之给出了圆周率的两个分数值:22/7(“近似率”)和355/113(“秘密率”)，后者使圆周率精确到小数点后第七位，这一纪录直到一千多年后才被阿拉伯数学家阿尔·卡西打破。

割圆的原理现在看起来很简单，简单的小学数学就能演示出来。简而言之，就是把一个圆分成多边形，分的越细，多边形的边越多，多边形的面积越接近圆的面积。

图片来源:哔哩哔哩

当然，如果想在刘徽祖冲之时代，还有一个知识点亟待解决，那就是圆的面积与周长的关系。同样，利用小学数学，我们得到N多边形的面积= N多边形的半周长×N多边形外接圆的半径。

“n边形面积= n边形半周长×n边形外接圆半径”的证明

n最大时，其面积非常接近圆，即圆的面积=(圆的周长/2) ×半径。这个，圆的面积和周长就成功地联系起来了。使用Wolfram Cloud，可以直观的演示割圆术的操作过程。(为什么不直接用Mathematica？远程办公的边肖表示没有足够的硬盘空在不卸载游戏的情况下安装大型软件)。

知识点:割线迭代算法

上一篇只是简单介绍了割圆术的原理，实际操作中会遇到一些技术问题。下面简单介绍一下割圆的迭代算法。有兴趣的同学可以用电脑模拟(有时间的同学可以尝试像祖冲之一样用钢笔做计算)。

如上图以O为圆心做一个圆O，然后构造一个正多边形。原则上，多边形可以是任何边。不失一般性，这里是正六边形。与中心O有一定边的垂直平分线OB，连线AB是与正十二边形内接的圆O的边。OB与正六边形的边相交于c点，设|OC| = H，|CB| = h，|OA| = R，正六边形的边长= M，正十二边形的边长= | ab | = m，所以有

简单计算，设|OA| = R =1，则有

这个我们就得到了边长的迭代公式。

已经论证过“N多边形的面积= N多边形的半周长×N多边形的半径”，由定义可知pi是“圆的周长与其直径之比”，所以N多边形的面积(S)、边长(M)和半径(R)是有区别的。

也设R =1，我们有

结合上面的迭代公式，很明显

这里m和π的下标N表示结果是在正N多边形的前提下得到的。显然，随着边数n的增加，得到的π值也接近π的真值。

3无穷级数:更优雅地计算π

虽然用割线法计算圆周率的思路很简单，但是计算起来还是比较复杂，尤其是过去数学家还不能像边肖那样用Mathematica来计算。迄今为止，用多边形计算π最精确的结果是由奥地利天文学家克里斯托弗·格林伯格在1630年获得的。为此，格林伯格用加10的40次方(即1后面的40个零)计算了π的第38位小数。为此，出现了新的想法。

图片来源：wikipedia图片来源:维基百科

弗朗索瓦·韦达(左)、约翰·沃利斯(中)和戈特弗里德·莱布尼茨(右)。接下来介绍的方法就来源这三位大神。

吠陀的无限积

图片来源：twitter@fetedayy图片来源:推特@fetedayy

娃娃警告:这里不能“禁娃娃”~

吠陀给的其实不是无穷级数，而是无穷乘积。一般认为，大卫的这项工作是欧洲最早的有关无限圆周率的公式。虽然边肖没有验证大卫最初是如何完成这个证明的，但是他大概上可以用我们中学的数学知识完成这个证明。证明这个想法是双角公式。

当等式两边同时除以x时，有

这里需要用一点大学内容，用极限。

我们有

设x = π/2，我们很容易得到。

沃利斯产品

沃利斯积，也叫沃利斯公式，是由英国数学家约翰·沃利斯于1655年发现的。为了严格证明这个方程的步骤有点繁琐(也就是说读者懒得看)，所以我们用欧拉(没错，又是他！)处理巴塞尔问题时使用的技巧来证明这个等式。(这里值得一提的是，欧拉当年“解决”巴塞尔问题的方法，现在看来是不完整的。)

首先，考虑正弦函数的麦克劳克林展开式:

两边除以x，你得到

考虑到方程sin (x)/x = 0的根位于x = …，-2π，-π，π，2π，…，所以有

设x = π/2，

证明了该公式。

格雷戈里-莱布尼茨公式

上面提到的两种方法之所以出名，主要是因为它们提出的比较早。在实际计算过程中，人们更喜欢使用上述公式。它是莱布尼茨在1674年发现的，被称为格雷戈里-莱布尼茨公式。但是有朋友发现，这其实是arctan函数的麦克劳克林展开式。因为太有名了，相信大家都烂熟于心，这里就不介绍公式的证明了。当x取1时，反正切函数正好等于π/4，所以比前面的算法简单。

不过在此提醒想亲自动手计算的同学，格雷戈里-莱布尼茨公式虽然看起来简单，但是收敛速度很慢，所以现在大概不用来计算圆周率了。下面是印度传奇数学家拉玛努金给出的一个公式。

图片来源：wikipedia图片来源:维基百科

斯里尼瓦瑟·拉马努金，20世纪印度的一位传奇数学家。他一生没有接受过正规的高等数学教育，却有着极其敏锐的直觉。拉玛努金经常直接给出公式而不需要证明，但现在他的理论经常被事后证明是对的。数学家哈代评论拉玛努金的公式，有些公式他一开始无法理解，但“它们必须是真实的，因为如果不是这个，没有人会有足够的想象力去发明它们。”

鸡蛋时间:优雅的反面典型

在写这篇文案的过程中，边肖突然想起他曾看过一篇有关人人网的文章。边肖的一个朋友(没有一个中年朋友的警告)曾经相信过圆周率。

图片来源:reddit

文章边肖没找到，但是发现有歪门邪道的人在讨论是一件乐事~

设p = ∞，确实会使π = 4。但是上图中的证明明显是错的。考虑到圆周本质上是导数的积分，这个图的问题是一致收敛函数的导数可能不收敛。当然，这个问题也可以从测量的角度来考虑，但无论从哪个角度，都不太可能在一篇文章中解释清楚。(更何况文章辣到没人愿意看。)所以让我们期待明年的3月14日，在我们的π日继续说π~(当然前提是读者先生们不要摘下来~ ~ ~)

看完今天的科普，肯定会有同学觉得意犹未尽。那么问题来了，有没有这个一本书，可以还原科学定理的历史，深入浅出地介绍其背后的科学道理？

央视《来吧，未来》节目科学顾问曹则贤老师，潜心收集了数十篇数学史和物理学史上的精彩证明，涉及180多位名家。因材施教，鼓励年轻读者走先贤开创的道路。

资料来源:外国研究科学出版社

编辑:姚峰

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