“矩形面积的计算”有两种方法可以得到，一种是归纳法，一种是演绎法。但是归纳法和演绎法并不是完全分离的，它们方向相反，但是相互依存。归纳得出的一般结论是演绎推理的大前提，所以我们在这里讲归纳和演绎，要看主流的推理形式。如果归纳推理是主要的推理方式，那么这门课应该这个设计:

①将任意一个矩形放入面积为1cm2的小正方形中，并记录相关数据:

②长方形的面积和长宽有什么关系？

矩形的面积=长x宽

这就是归纳推理，或者不完全归纳(也叫简单枚举)。它的缺点是结论不一定成立。这里有一个“数”的过程，但不是突出“数”的动作，而是突出“算”的动作，只突出一个动作是完成不了数学的抽象任务的。

如果演绎推理是主要的推理方式，那么这门课应该这个设计:

你知道长方形的面积吗？(每组的矩形大小不一样)(如图1所示)

生:只要知道这个长方形包含多少个面积单位，就知道它的面积是多少。

这是长度测量的延伸，可以作为演绎推理的小前提。大前提是“测量结果的大小(长度、面积、体积)是包含的测量单位的数量”，这是长度测量中得出的一般结论，这里隐含了大前提。

老师:你选择哪个单位进行测量，你需要多少个这个的单位？

生:(讨论)以1cm为计量单位，大概需要30个这个的单位。

以1cm为计量单位，用你的方法测量，记录相关数据。

这里突出了“数”的动作。在数数的过程中，有些同学会采取“数”的动作，这种动作被称为“结构测量”。他发现有些招式是可以“保存”的，只能把长边和宽边放在一起，然后相乘。然后抽象出，只要知道长度和宽度，不需要实际测量就可以知道使用的面积单位数。这就是“行动内化”。虽然不是用手测，但是用脑测，也是用脑抓物体。这种抽象过程实际上是一种“反身抽象”或“反身抽象”，通过对自己行为的反思来抽象数学结论。这涉及到两个动作的配合，一个是“数”的动作，一个是“算”的动作。两个动作协调后，可以抽象出一个矩形的面积，即矩形的面积=长×宽，这是抽象自己动作的结果。

矩形面积的计算方法不应该是一个“发现”的过程，而是一个抽象的结果。

学生记录完数据后，老师会引导学生观察表格中的数据。你发现了什么？学生应该发现什么？是数字之间的运算关系，或者是长、宽、面积之间的逻辑关系。学生在这里首先发现的是数字之间的运算关系，因为填写运算符号是学生比较熟悉的，是我们在低年级一直在进行的培养学生数感的训练，比如:3 02 = 6。这个先找到数字之间的算术关系，再把算术关系转移到长宽面积上。我们来思考一下这个传播过程，其实就是一个彻头彻尾的“单发现”过程。学习数学离不开发现，但并不是所有的数学知识都是发现的。例如，运算法则，运算公式…是抽象的结果。怎么抽象？上面提到了自反抽象，是皮亚杰首创的。南京大学的郑雨欣教授给出了一些解释。两个动作协调后，抽象过程会自然完成吗？不会的，在“数”和“算”的动作协调之后，要想完成抽象，还需要核心问题的引导，那就是“怎么算更快？”按“长×宽”算比较快。公式是什么不重点，重点的是怎么得到。

现在的问题是如何让学生在这个复杂的过程中有一个轻松的体验。我觉得在教学中可以两者兼顾，但重点是“测”。也就是说，抽象公式的过程是古埃及的“大地测量学”，最后的结论是毕达哥拉斯的“平方数”。但老师要全程“串”，前面“细”，后面“粗”。不要问“长×宽”是面积单位的个数还是面积本身，让学生知道因为数值相等，所以可以直接用“长×宽”计算面积。这就是“讲道理”，也就是讲道理，小学就可以用。虽然它的逻辑并不严密，但是因为大前提和结论是正确的，所以小前提变得不那么重点了。这也是由学生本身的年龄特点决定的。